Question

设P(X0.Y0)是抛物线Y2=2PX（P>0)上异于顶点的定点，A(X1.Y1)B(X2.Y2)是抛物线上的两个动点，若直线PA与PB

设P(X0.Y0)是抛物线Y2=2PX（P>0)上异于顶点的定点，A(X1.Y1)B(X2.Y2)是抛物线上的两个动点，若直线PA与PB的倾斜角互补，求（Y1+Y2)/Y0的值，并证明直线AB的斜率是
设P(X0.Y0)是抛物线Y2=2PX（P>0)上异于顶点的定点，A(X1.Y1)B(X2.Y2)是抛物线上的两个动点，若直线PA与PB的倾斜角互补，求（Y1+Y2)/Y0的值，并证明直线AB的斜率是常数

Answer 1

因为斜率是倾斜角的正切
倾斜角互补，所以正切是相反数
所以斜率是相反数
PA斜率=(y1-y0)/(x1-x0)
P和A在抛物线上
x1=y1^2/2p,x0=y0^2/2p
所以x1-x0=(y1^2-y0^2)/2p=(y1+y0)(y1-y0)/2p
所以斜率=2p/(y1+y0)
同理，PB斜率=2p/(y2+y0)
所以2p/(y1+y0)=-2p/(y2+y0)
y1+y0=-(y2+y0)
y1+y2=-2y0
(y1+y2)/y0=-2

设直线AB的斜率为kAB.
由y2^2=2px2，y1^2=2px1，
相减得（y2－y1）（y2+y1）=2p（x2－x1），
所以kAB=(y2-y1)/(x2-x1)=2p/(y2+y1)（x1≠x2）.
将y1+y2=－2y0（y0＞0）代入得
kAB=2p/-2y0=－p/y0，所以kAB是非零常数.