Question

若f具有一介连续导数,由方程x+y+z=f(x^2+y^2+z^2)确定的隐函数为z=g(x,y)

若f具有一介连续导数,由方程x+y+z=f(x^2+y^2+z^2)确定的隐函数为z=g(x,y),则(y-z)偏导z/偏导x+(z-x)偏导z/偏导y=？

Answer 1

首先，将y视为常数，两边对x求偏导数：

1 + (∂z/∂x) = [2x +(2z∂z/∂x)]·[∂(x^2+y^2+z^2)/∂x]
∴{1- 2z·[∂(x^2+y^2+z^2)/∂x]} · (∂z/∂x)= 2x·{[∂(x^2+y^2+z^2)/∂x]} - 1
∴(y-z)(∂z/∂x) = (2x·{[∂(x^2+y^2+z^2)/∂x]} - 1)·(y-z) / {1- 2z·[∂(x^2+y^2+z^2)/∂x]}
由对称性，有：
(z-x)(∂z/∂y) = (2y·{[∂(x^2+y^2+z^2)/∂y]} - 1)·(z-x) / {1- 2z·[∂(x^2+y^2+z^2)/∂y]}
相加即可