Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足：对于任意实数x，都有f(x)>=x, f(x)<=[(x+2)^2]/8 恒成立

（1）若f(-2)=0，求f(x)的表达式
(2)g(x)=f(x)-(mx/2), x∈[0,+∞),若g(x)图上的点都位于直线y=1/4的上方，求实数m的取值范围

Answer 1

设F（x）=f(x)-x,则F（x）=ax^2+(b-1)x+c
要使函数F（x）恒大于或等于零，则(b-1）^2-4ac<=0 (1)且 a>0 或a=0,(b-1)x+c>=0 (2).
设G（x）=f(x)-[(x+2)^2]/8，即G（x）=（a-1/8）x^2+(b-1/2)x+c-1/2.
要使函数G（x）恒小于或等于零，则（a-1/8）<0 且 (b-1/2)^2-4（a-1/8）(c-1/2)<=0 (3)
或a-1/8=0，(b-1/2)x+c-1/2<=0 (4).
(1)
f(-2)=4a-2b+c=0,将c=2b-4a代入 (1)式得：（b-4a）^2<=0
所以b=4a=c. 由（2）得b=1,c>=0,则此时c=2,但此时不满足（3）或（4），所以不符.
将b=4a代入（3）式得：a>=1/8.不符
由(4)得：a=1/8,b=1/2,c<=1/2.此时满足b=4a=c=1/2
综上所述：f（x）=1/8x^2+1/2x+1/2.
(2)
g(x)=f(x)-(mx/2)=1/8x^2+(1/2-m/2)x+1/2,
g(x)图上的点都位于直线y=1/4的上方，即g(x)恒大于1/4
设G（x）=g(x)-1/4，即
G（x）=1/8x^2+(1/2-m/2)x+1/4
要是满足题意，则G（x）>0
则(1/2-m/2）^2-4*1/8*1/4<0
所以1-(2^1/2)/2<m<1+(2^1/2)/2