Question

这三道不定积分过程详解

Answer 1

1）洛必达法则+变上限积分求导
注意分母交换上下限加一个负号
原极限=lim2x|x|sin|x|/[-2(2x)^2ln(1+4x^2)]（sinx~x，ln(1+x)~x）
=-1/16lim1/x
极限不存在
2）只需要求作为系数的定积分即可，设为A
两边在(0,1)区间定积分
A=∫(0,1)x^2dx+A∫(0,1)xdx
A=1/3+A/2
A=2/3
f(x)=x^2+2x/3
3）显然a>1时，φ(a)>φ(1)
只需要看0<a<=1的情况
φ(a)=∫(0,a)(a^2-x^2)dx+∫(a,1)(x^2-a^2)dx
=a^3-a^3/3+1/3-a^3/3-(a^2-a^3)
=4a^3/3-a^2+1/3
φ'(a)=4a^2-2a
有两个实根，a=0（舍掉）或a=1/2
最小值φ(1/2)=1/4