Question

高等数学偏导数， 若f（x，y，z）=0 求：z对x的二阶导数。 要过程。

Answer 1

解：
缺少一个条件，应该还有：f(x,y,z)=0二阶连续偏导存在

对f(x,y,z)=0求关于x的偏导数，则：
f'x+f'z·(∂z/∂x)=0
∂z/∂x
=-f'x/f'z
=(-f'x)·[(f'z)^(-1)]
当f'z≠0时，对上式求关于x的偏导，则：
∂²z/∂x²
=[∂(-f'x)/∂x]·[(f'z)^(-1)]+(-f'x)·{∂[(f'z)^(-1)]/∂x}
=-[f''xx+f''xz·(∂z/∂x)]·[(f'z)^(-1)]+f'x·[(f'z)^(-2)]·[f''zx+f''zz·(∂z/∂x)]
=-{f''xx+f''xz·(-f'x)·[(f'z)^(-1)]}·[(f'z)^(-1)]+f'x·[(f'z)^(-2)]·{f''zx+f''zz·(-f'x)·[(f'z)^(-1)]}
={-f''xx·f'z+f''xz·f'x+f'x·f''zx-f''zz·(f'x)²·[(f'z)^(-1)]}/(f'z)²
如果一阶偏导连续，则混合偏导相等，因此：
上式
={-f''xx·f'z+2f''xz·f'x-f''zz·(f'x)²·[(f'z)^(-1)]}/(f'z)²
=[-f''xx·(f'z)²+2f''xz·f'x·f'z-f''zz·(f'x)² ] / (f'z)³

追问

能不能用全微分的方法做出来？

追答

可以，需要用到一阶全微分和二阶全微分公式

Answer 2

f'<x> +f'<z>z'<x> = 0, z'<x> = - f'<x>/f'<z>
f''<x> + f''<xz>z'<x> +f''<zx>z'<x> + f''<zz>(z'<x>)^2
+f'<z>z''<xx> = 0
对于连续函数 ， f''<xz> = f''<zx>
则 z''<xx> = -[f''<x>+2f''<xz>z'<x>+f''<zz>(z'<x>)^2]/f'<z>
= -[f''<x> - 2f''<xz>f'<x>/f'<z>+f''<zz>(-f'<x>/f'<z>)^2]/f'<z>
= -[f''<x>(f'<z>)^2-2f''<xz>f'<x>f'<z>+f''<zz>(f'<x>)^2]/(f'<z>)^2