Question

物理问题 ：

一个体积为v的实心长方体，放入水里，静止时长方体能浮在水面，先将它露出水面的部分切去，再将剩余部分放入水里。若要求长方体剩余部分静止时，露出水边的体积v1与长方体v的比值为最大，则长方体 的密度为多少？

Answer 1

解： 设长方体密度为 p体 、水密度为p水, 切前由浮力等于重力得：

p水 V排 g =p体 V g 则 V排 = p体 V / p水。

切后由浮力等于重力得：

p水 (V排 - V1) g = p体 V排 g. 化简得：

（p 水 - p体) V排 = p水 V1.

把 V排 = p体 V / p水 代入得:

( p水 - p体) × p体 V /p水 = p水 V1.

从而可得：

V1/V =[ ( p水 - p体 ) × p体 ] /（ p水 ）²

= (p体 / p水) - (p体 / p水)²

这就形如 Y = -X² + X

= -（X-1/2）² + 1/4.

即当 X=1/2 时，Y有最大值 1/4.

故当p体 / p水 = 1/2 时，即当 p体 = 1/2 p水 = 0.5×10³ Kg/m³ 时,

V1 / V 的比值最大，为1/4.

Answer 2

设物体原来的高度为H0,物体最初浸入水中高度为H，切除后露出水面高度为H1
则有：
pgH0=p水gH .....1
pgH=p水g(H-H1)....2

1,2左边除以左边，右边除以右边得
H1/H0=H/H0-（H/HO)^2 ...3

由1得：H/H0=p/P水 ...4

由3,4可求得：H/H0=-(p/P水-0.5）+0.25

故p/P水=0.5时，H/H0最大（即V1/V最大）。
最大值为0.25，长方体密度p=1/2p水=0.5g/cm^3