怎么证明若连续函数在有理点的函数值为0则此函数恒为0
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令f(x)为闭区间D上的连续函数，{an}是闭区间D上所有有理数的集合
根据连续函数定义，
（1）对任意e>0，存在正数X，使对所有x满足|x-an|<X，有|f(x)-f(an)|<e
因为a是有理数，所以f(an)=0，即|f(x)|<e
由正数e的任意性，可知f(x)在(an-X,an+X)上恒等于0
因为{(an-X,an+X)}构成了闭区间D上的一个无限开覆盖
所以对任意x∈D，x∈(ak-X,ak+X)，即f(x)在D上恒等于0
根据连续函数定义，
（1）对任意e>0，存在正数X，使对所有x满足|x-an|<X，有|f(x)-f(an)|<e
因为a是有理数，所以f(an)=0，即|f(x)|<e
由正数e的任意性，可知f(x)在(an-X,an+X)上恒等于0
因为{(an-X,an+X)}构成了闭区间D上的一个无限开覆盖
所以对任意x∈D，x∈(ak-X,ak+X)，即f(x)在D上恒等于0
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