Question

求这几个不定积分的过程

Answer 1

∫secxdx=ln|secx+tanx|+C
这是公式来的
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∫secxdx
=∫(1/cosx)dx
=∫[cosx/(cosx)^2]dx
=∫[1/1-(sinx)^2]d(sinx)
=(1/2)∫[1/(1-sinx)+1/(1+sinx)]d(sinx)
=(1/2)[-ln|1-sinx|+ln|1+sinx|]+C
=(1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
=ln|secx+tanx|+C

∫cscxdx
=∫dx/sinx
=∫sinx/sin^2(x)dx
=-∫d(cosx)/(1-cos^2(x))
=-1/2∫(1/(1-cosx)+1/(1+cosx))d(cosx)
=1/2ln|(1-cosx)/(1+cosx)|+C
=ln|(1-cosx)/sinx|+C （根号里面上下同时乘1-cosx）
=ln|cscx-cotx|+C

∫tanx dx
=∫sinx/cosx dx
=-∫1/cosx d(cosx)
=-ln(cosx)+C
或=ln(secx)+C

∫cotxdx=∫cosx/sinxdx=∫(1/sinx)d(sinx)=ln(sinx)+C

若有用，望采纳，谢谢。

追问

最后一个问题，(1+sinX)/(1-sinX)是怎么变成secX+tanX的，麻烦你了

追答

= ln| √(1 + sinx)/√(1 - sinx) | + C
= ln| [√(1 + sinx)]²/√[(1 - sinx)(1 + sinx)] | + C
= ln| (1 + sinx)/cosx | + C
= ln|secx + tanx| + C
若有用，望采纳，谢谢。

追问

还是不懂为什么多了根号

哦哦，我懂了，1/2提到上面去了，谢谢你啦

Answer 2

∵∫e^xsin3xdx
＝∫sin3xd（e^x）＝e^xsin3x－∫e^xd（sin3x）＝e^xsin3x－3∫e^xcos3xdx
＝e^xsin3x－3∫cos3xd（e^x）＝e^xsin3x－3e^xcos3x＋3∫e^xd（cos3x）
＝e^xsin3x－3e^xcos3x－9∫e^xsin3xdx，
∴10∫e^xsin3xdx＝e^xsin3x－3e^xcos3x，　∴∫e^xsin3xdx＝（e^xsin3x－3e^xcos3x）/10＋C