Question

定积分 具体题目如图

题目如图，涉及的知识在定积分（包括）之前
求大手帮忙
采纳后
会追加分的
谢谢大家，可是本题目好像还没有涉及二重积分，能不能直接用高数定积分以前的方法做啊

Answer 1

(0,π)∫f(x)dx=(0,π)∫[(0,x)∫sint/(π-t)dt]dx
交换积分次序
=(0,π)∫[(t,π)∫sint/(π-t)dx]dt（(π-t)刚好被抵消）
=(0,π)∫sintdt=(0,π)∫[cost]=2

没学过二重积分，那分部积分总会吧？
(0,π)∫f(x)dx=(0,π)∫[(0,x)∫sint/(π-t)dt]dx
分部积分
=(0,π)[x(0,x)∫sint/(π-t)dt]（对于x的积分上下限是π和0，故见到x就变为上下限即可）
-0,π)∫xsinx/(π-x)dx
=π(0,π)∫sint/(π-t)dt-(0,π)∫(x-π+π)sinx/(π-x)dx
=π(0,π)∫sint/(π-t)dt+(0,π)∫sinxdx-π(0,π)∫sinx/(π-x)dx（定积分与字母无关，刚好抵消）
=(0,π)∫sinxdx=2

Answer 2

答：
原积分可化为：
∫(0到π)dx∫(0到x)sint/(π-t)dt
交换积分顺序：
=∫(0到π)dt∫(t到π)sint/(π-t)dx
=∫(0到π)[πsint/(π-t)-tsint/(π-t)] dt
=∫(0到π)(π-t)sint/(π-t) dt
=∫(0到π)sintdt
=-cost|(0到π)
=1-(-1)
=2

Answer 3

就是 f(x,t)= sint/【π-t】的二重积分，积分区域是t=0,x=t,,t=π所组成的三角形区域
交换积分顺序
=∫ 【0，π】 sint/【π-t】 dt∫ [t,π] dx=∫ 【0，π】 sint(π-t) dt/【π-t】 dt=∫ 【0，π】 sintdt
=2

Answer 4

有图有真相