Question

函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[-3，a] （I）当a=2时，求f（x）的最大值和最小值，

求出函数取最值时x的值；
（Ⅱ）若y=f（x）在区间[-3，a]上是增函数，求实数a的取值范围.

Answer 1

(I)f(x)=-x²+2x+1=-(x-1)²+2，抛物线y=f(x)顶点是(1,2)。a=2时，其定义域为[-3,2]，包含其对称轴，故该区间内函数最大值为函数顶点，即f(1)=2。对称轴两侧函数分别单调递增与单调递减，所以只需算出该闭区间两端函数的值并比较大小即可得函数最小值：f(-3)=-14，f(2)=1，所以函数最小值为f(-3)=-14。
(II)f(x)=-x²+2x+1=-(x-1)²+2，所以抛物线y=f(x)关于直线x=1成轴对称，对称轴左侧为其单调递增区间。所以a的取值范围应为-3<a≤1，这样才能使区间[-3,a]在函数的单调递增区间内，使该区间上f(x)为增函数。