Question

x2+y2-2(m+3)+2(1-4m2)y+16m4+9=0一表示一个圆 （1）求该圆半径r的取值范围 （2）求圆心的轨迹方程

x2+y2-2(m+3)+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆 （1）求该圆半径r的取值范围 （2）求圆心的轨迹方程

Answer 1

(1)
x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0
x2-2(m+3)x+(m+3)2+y2+2(1-4m2)y+(1+4m2)2=(m+3)2+(1+4m2)2-16m4-9
(x-(m+3)2+(y+(1-4m2)2=m2+6m+9+1+8m2+16m4-16m4-9
(x-(m+3)2+(y+(1-4m2)2=9m2+6m+1
9m2+6m+1>0
(3m+1)2>0
m≠0
m≠-1/3
所以m∈R且m≠-1/3
(2)
圆心坐标为
x=m+3
m=x-3 1
m≠-1/3
x-3≠-1/3
x≠8/3
y=1-4m2 2
1代入2式得
y=1-4(x-3)2=1-4(x2-6x+9)=1-4x2+24x-36=-4x2+24x-37(x∈R,且x≠8/3)
所以圆心的轨迹方程是
y=-4x2+24x-37(x∈R,且x≠8/3)

Answer 2

配平方，得 (x^n表示x的n次方)
(x-(m+3))^2+(y+(1-4m^2))=(m+3)^2+(1-4m^2)^2-16m^4-9= -7m^2+6m+1
(1)当右端>0时表示圆,且是圆的半径的平方,二次函数求最大值，r^2∈(0,16/7],那么r∈?
(2)圆心横坐标x=m+3(∈(20/7,4)),纵坐标y=-（1-4m^2） (由(1)得m∈(-1/7,1))
所以 y=-（1-4(x-3)^2）= 4x^2-24x+35(x∈(20/7,4))

Answer 3

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