Question

关于数列一道很难的题目，请高人指教.......................

对于数列｛an｝，规定｛△an｝为数列｛an｝的一阶差分数列，其中△an=a（n+1）-an（n属于N*），对正整数k，规定｛△kan｝为｛an｝的k阶差分数列，其中△kan=△（k-1）a（n+1）-△（k-1）an。
（1）已知数列｛an｝的通项公式为an=n的平方+n，试判断｛△an｝，｛△2an｝是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列｛an｝的首项为1，且△2an- △a(n+1)+an=-2的n次方（n属于N*），求数列｛an｝的通项公式；
（3）记Sn=a1+a2+a3+...............+an，求Sn。
第二三问怎么做啊？

Answer 1

1，△an=a(n+1)-an=2n+2 为等差数列
△2an=△a(n+1)-△an=2为常数
2，原式可化为
an-△an=2an-a(n+1）=-2^n
即an=2a(n-1)+2^(n-1)用递推法求得
an=n·2^(n-1)
第三问太复杂

Answer 2

1，△an=a(n+1)-an=2n+2 为等差数列
△2an=△a(n+1)-△an=2为常数
2，原式可化为
an-△an=2an-a(n+1）=-2^n
即an=2a(n-1)+2^(n-1)用递推法求得
an=n·2^(n-1)
第三问太复杂

Answer 3

1. △an=a(n+1)-a(n)=(n+1)^2+(n+1)-n^2-n
=2n+2
数列{△an}为等差数列
△2an=△a(n+1)-△a(n)=2(n+1)+2-2n-2
=2
数列{△2an}为常数数列
2. △2an=△a(n+1)-△a(n), 代入得
-△a(n)+an=-2^n
-a(n+1)+2an=-2^n
a(n+1)=2an+2^n
(a(n+1)/2^n)=(an/2^(n-1))+1
所以 数列 {an/2^(n-1)}是一个公差为1的等差数列
第一项 a1/2^(0)=1
所以 an/2^(n-1)=n
an=n*2^(n-1)
3. 是求第一问的Sn 还是第二问的Sn?
1) an=n^2+n
Sn=(1+2+...+n)+(1+2^2+3^2+...+n^2)
=n(n+1)/2+ n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1)(n+2)/3
2) an=n*2^(n-1)
Sn=1*2^(0)+2*2^(1)+3*2^(2)+...+n*2^(n-1)---------------------1
2*Sn=1*2^(1)+2*2^(2)+...+(n-1)*2^(n-1)+n*2^(n)--------------------2
用式子2减去式子1, 得:
Sn=n*2^(n)-[2^(0)+2^(1)+2^(2)+...+2^(n-1)]
=n*2^(n)-[2^(n)-1]
=(n-1)*2^(n)+1