Question

设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC‖x轴

证明直线AC经过原点

Answer 1

抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F坐标是(p/2,0)
设AB直线方程是y=kx+b
因为AB直线方程过点F
则代入方程得
0=k*p/2+b
b=-kp/2
所以直线方程为y=kx-kp/2
设A点的坐标为(xa,ya),B点的坐标为(xb,yb)
因为A点在抛物线上，则有ya^2=2pxa
xa=ya^2/2p
所以A点的坐标为(ya^2/2p,ya)
同理B点的坐标为(yb^2/2p,yb)
因为A，B，F都在同一条直线上，则
KAB=KAF
(ya-yb)/(ya^2/2p-yb^2/2p)=(ya-0)/(ya^2/2p-p/2)
2p(ya-yb)/(ya+yb)(ya-yb)=2pya/(ya^2-p^2)
2p(ya^2-p^2)=2pya(ya+yb)
ya^2-p^2=ya^2+yayb
yayb=-p^2 1
因为点C在抛物线的准线上，且BC‖x轴
则C点的纵坐标是yb
因为准线方程是x=-p/2
所以C点的坐标是（-p/2,yb)
则过AC两点的直线的斜率k=(yb-ya)/(-p/2-ya^2/2p)=-2p(yb-ya)/(p^2+ya^2)
设这个直线方程为y=-2p(yb-ya)/(p^2+ya^2)x+b
因为它过点A点或C点，把C点的坐标代入得
yb=-2p(yb-ya)/(p^2+ya^2)*(-p/2)+b
yb=p^2(yb-ya)/(p^2+ya^2)+b
b=yb-p^2(yb-ya)/(p^2+ya^2)
=[yb(p^2+ya^2)-p^2(yb-ya)]/(p^2+ya^2)
=(p^2yb+ya^2yb-P^2yb+p^2ya)/(p^2+ya^2)
=ya(yayb+p^2)/(p^2+ya^2)
=ya(-p^2+p^2)/(p^2+ya^2)
=0
所以直线AC方程是：y=-2p(yb-ya)/(p^2+ya^2)x
即直线AC经过原点

Answer 2

证明：如图因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（p2，0），
所以经过点F的直线的方程可设为x=my+
p2；
代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0，
若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，
所以y1y2=-p2．
因为BC∥x轴，且点c在准线x=-p2上，
所以点c的坐标为（-p2，y2），
故直线CO的斜率为k=
y2-
p2=
2py1=
y1x1．
即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．