Question

求数列1，3a，5a^2，7a^3.…(2n-1)a^(n－1)的前n项和(a不等于0)

Answer 1

令：Sn = 1+3a+5a²+7a³+.+(2n-1)a^(n-1),则：1）当a=0时,Sn=1当a≠0时：Sn = 1+3a+5a²+7a³+.+(2n-3)a^(n-2)+(2n-1)a^(n-1)aSn= a+3a²+5a³+.+(2n-5)a^(n-1)+(2n-3)a^(n-1)+(2n-1)a^(n)上述两式相减：(1-a)Sn = 1+2×(a+a²+a³+.+a^(n-1)) - (2n-1)a^(n)= 1+2×[a(1-a^(n-1))]/(1-a) - (2n-1)a^(n)Sn = 1/(1-a) + {a[1-a^(n-1)]}/(1-a)² - (2n-1)a^(n)/(1-a)

Answer 2

a=1时，
Tn=1+3+...+(2n-1)=n²
a≠0且a≠1时，
Tn=1+3a+5a²+...+(2n-1)·a^(n-1)
aTn=a+3a²+...+(2n-3)·a^(n-1)+(2n-1)·aⁿ
Tn-aTn=(1-a)Tn=1+2a+2a²+...+2a^(n-1)-(2n-1)·aⁿ
=2[1+a+a²+...+a^(n-1)]-(2n-1)·aⁿ-1
=2·1·(1-aⁿ)/(1-a) -(2n-1)·aⁿ-1
=2(1-aⁿ)/(1-a) -(2n-1)·aⁿ-1
Tn=2(1-aⁿ)/(1-a)² -(2n-1)·aⁿ/(1-a) -1/(1-a)