Question

从1,2，。。。2010这2010个正整数中最多可以取出多少个数使得所有取出的数中任意三个数之和能被33整除

Answer 1

最多可以取出60个数。

2010÷33 = 60……30
1到2010这2010个正整数中，被33除余数为：
1、2、3、……29、30、31、32、0
的数字个数分别对应为：
61、61、61、……61、61、60、60、60

因为对被2010除不全部余0的三种余数组合（A、B、C），
不存在
A + B + C、
2A + B、2A + C、2B + A、2B + C、2C + A、2C + B
3A、3B、3C都能被33整除的情况。

因此要使所有取出的数中任意三个数之和能被33整除，
必须取出的数均能被33整除。
最多可取出60个：
33、66、99……1980

Answer 2

因为对被2010除不全部余0的三种余数组合（A、B、C），
不存在A + B + C、2A + B、2A + C、2B + A、2B + C、2C + A、2C + B、3A、3B、3C都能被33整除的情况。
因此要使所有取出的数中任意三个数之和能被33整除，
必须取出的数均能被33整除。
最多可取出60个。