Question

二阶微分方程的右边如果是三角函数该怎么设特解呢？求解y"+k^2y=cosx的解的形式

Answer 1

如果k≠±1，就可以设特解是y＝Acosx＋Bsinx。

如果k＝±1，就可以设特解是y＝x（Acosx＋Bsinx）。

例题：

二阶微分方程，求解，等式右边既有多项式又有e函数的怎么设特解，y｀｀－y｀＝4xe＾x满足初始条件x＝0y＝0，x＝0y｀＝1，求特解：

解：

先看特征根：

t＾2－t＝0，得t＝0，1

因此通解形式为y1＝C1＋C2e＾x

因为右边e＾x是通解形式中的一项，所以前面的多项式要高一次，设y＊＝x（ax＋b）e＾x

y＊＇＝（ax＾2＋bx＋2ax＋b）e＾x

y＊＂＝（ax＾2＋bx＋4ax＋2b＋2a）e＾x

代入原方程：

（ax＾2＋bx＋4ax＋2b＋2a）－（ax＾2＋bx＋2ax＋b）＝4x

2ax＋（b＋2a）＝4x

2a＝4，b＋2a＝0

得a＝2，b＝－4。

扩展资料

二阶常系数非齐次微分方程的特解规律：

1、Ay＇＇＋By＇＋Cy＝e＾mx特解y＝C（x）e＾mx

2、Ay＇＇＋By＇＋Cy＝asinx＋bcosxy＝msinx＋nsinx

3、Ay＇＇＋By＇＋Cy＝mx＋ny＝ax

Answer 2

如果k≠±1, 就可以设特解是y=A cos x+B sin x
如果k=±1, 就可以设特解是y=x(A cos x+B sin x)

Answer 3

要分类讨论的，详情如图所示

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