Question

线性代数: 12题怎么做，需要详细的解题过程，急

Answer 1

(1)题

|λI-A| = 

λ-2    2    0    

2    λ-1    2    

0    2    λ    

 = 按第1列展开，得到 = (λ-2)[(λ-1)λ-4] -2(2λ) =(λ-2)(λ-1)λ-4(λ-2)-4λ =(λ-2)(λ-1)λ-8(λ-1)

= (λ-1)(λ(λ-2) -8) = (λ-1)(λ+2)(λ-4)= 0

解得λ=1,4,-2

然后求出相应的特征向量：

显然这3个特征向量是两两正交的（因为实对称阵的不同特征值下的特征向量正交）

下面，只需将其都单位化，即可得到正交矩阵：

(-1,-1/2,1)T  →  (-2,-1,2)T /3

(2,-2,1)T →  (2,-2,1)T /3

(1/2,1,1)T →  (1,2,2)T /3

则得到正交矩阵P=

-2/3 2/3 1/3

-1/3 -2/3 2/3

2/3 1/3 2/3

使得P⁻¹AP=diag(1,4,-2)

(2)

再求出相应特征向量

属于特征值1的这两个特征向量，不是正交的，

使用施密特正交化方法：

先正交化，

(-2,1,0)T   →  (-2,1,0)T   

(2,0,1)T →  (2,0,1)T +4(-2,1,0)T/5 =  (2,4,5)T/5

(-1/2,-1,1)T → (-1/2,-1,1)T

然后单位化，即可得到正交矩阵：

 (-2,1,0)T     →  (-2,1,0)T/√5

 (2,4,5)T/5 →   (2,4,5)T/3√5

(-1/2,-1,1)T →  (-1,-2,2)T/3

则得到正交矩阵P=

-2/√5 2/3√5 -1/3

1/√5 -4/3√5 -2/3

0 √5/3 2/3

使得P⁻¹AP=diag(1,1,10)