Question

高等数学微分方程齐次微分方程特解通解问题……课本上写的是，两个特解的线性组合是齐次方程的通解，为什

高等数学微分方程齐次微分方程特解通解问题……课本上写的是，两个特解的线性组合是齐次方程的通解，为什么这里这样写呢？两个特解的线性组合是特解？如果我理解的不对还麻烦讲解一下这里为什么得出e^（2x）和e^（-x）是特解的？谢谢！

Answer 1

对于常微分方程来说，其导数项为多项式形式，系数为常数，其解空间是线性空间，线性空间的特点是满足可加性和齐次性，就是叠加原理，因此y1=e^(2x)，y2=2e^(-x)-3e^(2x)的任何线性组合a1y1+a2y2都是原方程的解，其中a1,a2是常数。事实上，特别是e^(2x)，e^(-x)是解空间的基。

追问

有点高深啊……我还是不太懂……y1和y2的线性组合，也就是a1y1+a2y2究竟是通解还是特解呢？

只要是拆分成不再能分开的，就是基吗？？

_(:_」∠)_不太懂呀……

追答

方程是齐次的还是非齐次的？

追问

一开始的方程是齐次的

追答

通解和特解的概念：通解表示的是无数解组成的一个解系，其中任意一个解都是原方程的解；特解是代入原方程恒成立的一个解：前者是多，后者是一。通解中一般包括任意系数。
回顾线性代数解线性齐次代数方程Ax=0，如果rank(A)=r<n，即A的列向量维数为r，那么根据线性代数理论，Ax=0解空间的维数就是n-r，也就是说任何n-r个线性无关的解向量x1、x2、...、x(n-r)的线性组合a1x1+a2x2+...+a(n-r)x(n-r)构成了Ax=0的通解。
现在要求线性微分方程通解，同样的，必须找解空间的一个基，告诉了y1=e^(2x)、y2=2e^(-x)-3e^(2x)是特解，而y1、y2线性无关，所谓线性无关就是y2不能表示成k*y1的形式（或者y1不能表示成k*y2的形式）因此y1、y2就构成了解空间的一个基，也就是说a1y1+a2y2就是通解。
实际上，观察y2=2e^(-x)-3e^(2x)，y2已经表示为两个基e^(-x)、e^(2x)的线性组合，那么e^(-x)、e^(2x)也是解空间的基，因此a1e^(-x)+a2e^(2x)就是原方程的通解。

追问

好详细！谢谢！