Question

数列求和的裂项

Answer 1

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
常用公式：
（1）
（2）
（3）
（4） （当a≠b时）
（5）
[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
则Sn
=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意： 余下的项具有如下的特点
1、余下的项前后的位置前后是对称的。
2、余下的项前后的正负性是相反的。