怎么判断函数的奇偶性

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判定奇偶性四法:

(1)定义法

用定义来判断函数奇偶性,是主要方法 . 首先求出函数的定义域,观察验证是否关于原点对称. 其次化简函数式,然后计算f(-x),最后根据f(-x)与f(x)之间的关系,确定f(x)的奇偶性.

(2)用必要条件.

具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要条件.

例如,函数y=的定义域(-∞,1)∪(1,+∞),定义域关于原点不对称,所以这个函数不具有奇偶性.

(3)用对称性.

若f(x)的图象关于原点对称,则 f(x)是奇函数.

若f(x)的图象关于y轴对称,则 f(x)是偶函数.

(4)用函数运算.

如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数,那么在D上,f(x)+g(x)是奇函数,f(x)•g(x)是偶函数. 简单地,“奇+奇=奇,奇×奇=偶”.

类似地,“偶±偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇”.

扩展资料:

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性,即已知是奇函数,它在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上也是增函数(减函数);偶函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性。

即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上是减函数(增函数)。但由单调性不能倒导其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。

说明:

①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言。

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性。

(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与 比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

④如果一个奇函数  在x=0处有意义,则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。

⑤如果函数定义域不是关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如  ]或[  ](定义域不关于原点对称)

⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数,则叫做既奇又偶函数。例如 

注:任意常函数(定义域关于原点对称)均为偶函数,只有  是既奇又偶函数

偶函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)称为偶函数。

奇函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)称为奇函数。

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

点(x,y)→(-x,-y)

奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。

性质:

1、大部分偶函数没有反函数(因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数)。

2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

3、奇±奇=奇(可能为既奇又偶函数) 偶±偶=偶(可能为既奇又偶函数) 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇(两函数定义域要关于原点对称).

4、对于F(x)=f[g(x)]:

若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数,则F[x]是偶函数。

若g(x) 是偶函数且f(x)是奇函数,则F[x]是偶函数。

若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数,则F[x]是奇函数。

若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数,则F[x]是偶函数。

5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称。

参考资料:百度百科-函数奇偶性

518姚峰峰

推荐于2017-11-22 · 知道合伙人人力资源行家
518姚峰峰
知道合伙人人力资源行家
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大学班长,中共党员。一次性通过英语四六级及计算机二级,现任公司综合办主任。为百度金榜题名时团队团长。

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先看定义域是否关于原点对称
如果不是关于原点对称,则函数没有奇偶性

若定义域关于原点对称
则f(-x)=f(x),f(x)是偶函数
f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数
具体方法:
1,定义法.①定义域是否关于原点对称,对称是奇偶函数的前提条件②f(-x)是否等于±f(x).
2,图象法.①图象关于原点中心对称是奇函数②图象关于y轴对称是偶函数.
3,性质法.①两个奇函数的和仍是奇函数②两个偶函数的和仍是偶函数③两个奇函数的积是偶函数④两个偶函数的积是偶函数⑤一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数.

希望帮到你 望采纳 谢谢 加油
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老黄知识共享
高能答主

2019-10-27 · 有学习方面的问题可以向老黄提起咨询。
老黄知识共享
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奇函数。求f(-x),因为根号内的x是平方,所以符号不变,根号外的x会变成-x,然后利用平方差公式,分母1和分子同时乘以两个式子的差,也就是-x和根号的差,可以得到求对数的幂的倒数,利用倒数为原数的-1次幂,再利用对数的求对数的幂的指数可以写在对数前求积,就可以得到-f(x).
f(-x)=-f(x),证明是奇函数.
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shawshark12100
2016-07-15 · TA获得超过3.3万个赞
知道大有可为答主
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判断f(x)和f(-x)的关系
想等是偶函数,相反是奇函数,否则就是非奇非偶。
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果实课堂
高粉答主

2020-02-15 · 繁杂信息太多,你要学会辨别
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如何判断函数的奇偶性

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