Question

已知函数f(x)=a+1/4^x+1,（1）当a为何值时，函数f(x)是奇函数（2）讨论函数的单调性

（3）在（1）的结论下，求满足不等式f(2x+1)+f(3x-11)>0的实数x的取值范围

Answer 1

1、要使函数是奇函数，因为函数的定义域为R.关于坐标原点对称，所以只需满足f(-x）=-f(x).而f(-x)=(a+1)+1/4^(-x)=(a+1)+4^(x),f(x)=（a+1）+4(-x)
所以(a+1)+4^(x)=-(a+1）-4^（-x）.即4^(x)+4^(-x)=-2(a+1)令t=4^（x),则由方程：t²+2(a+1)t+1=0,因为此方程有实数解，所以它的判别式⊿=4（a+1)²-4≥0，所以（a+1）²-1≥0。所以a≥0或a≤-2.结论是当a≥0或a≤-2时，函数是R上的奇函数。
2、因为函数的定义域是x∈R.所以在x∈（-∞，0）内取-∞＜x2＜x1＜0,则⊿x=x2-x1＜0,⊿y=f(x2)-f(x1）=1/4^(x2)-1/4^(x1)＞0.∴⊿y/⊿x＜0.即函数在区间（-∞，0）内是减函数。又在区间（0，+∞)内，同理可证函数在此区间上是减函数，所以函数在实数区间上始终是单调减函数。
3、当a≥0,或a≤-2时，都有f(2x+1)-f(3x-11)=1/4^(2x+1)-1/4^(3x+11)=1/4*16^x-4^(11)/64^x=[4^（x-1）-4^(11)]/64^x＞0，只须4^（x-1）-4^(11)＞0，所以x-1＞11，x＞12。