Question

导数定义为什么是开区间，而不是闭区间？

Answer 1

在一个点导数存在，必须要左导数等于右导数，而在区间端点处，只能知道左导数或者右导数，所以不能确定函数在该处是否可导。所以导数定义时用开区间，挖去端点。

Answer 2

首先以上解释是不对的
根据同济高数中的定义，函数在开区间(a,b)内可导只要再说明a点处右导数存在，b点处左导数存在就可以说函数在闭区间[a,b]内可导。
实际上开区间可导是比闭区间可导稍弱一点的条件。函数在闭区间上可导 可以推出 函数在开区间上可导且函数在闭区间上连续。但反之，函数在开区间上可导且函数在闭区间上连续 却无法推出 函数在闭区间上可导。
由此，闭区间上可导是一个更加严格的条件。在描述和适用某些公式定理时总希望把适用条件放宽些。所以导数之后的三大微分中值定理和单调性的研究条件都是开区间内可导，闭区间上连续，没有必要写成闭区间上可导，反而缩小了定理的适用范围。