Question

设函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且x>0时, f(x)<0, f(1)=-2.

(1)求证：f(x)是奇函数。
(2)判、证其单调性。
(3)求f(x)在[-3,3]上的最大值与最小值。

Answer 1

(1)证明：令x=y=0,得f(x+y)=f(x)+f(y)→f(0)=0
令y=-x，得f(x+y)=f(x)+f(y）→f(x）=-f(-x)
所以f(x)是奇函数
（2）因为x>0时, f(x)<0，所以f(x+y)=f(x)+f(y)→f(x+y)＜f(y)，即f(x)为单调递减函数
（3）因为奇函数关于原点对称，f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6 f(-3)= -f(3)=6
所以在f(x)在[-3,3]上的最大值为6，最小值为-6

Answer 2

f(x+y) = f(x) + f(y)
put x=y=0
f(0) = f(0) + f(0)
=> f(0) =0

put y=-x
f(0)= f(x) + f(-x)
f(x) = -f(x)
=>f(x)是奇函数
(2)
y> x
y = x+c ( where c>0)

f(y) = f(x+c)
= f(x) + f(c)
< f(x) ( f(c) < 0 )
f(x)是减函数

（3)
f(x+y) = f(x) + f(y)
put x=1, y=1
f(2) = f(1) + f(1)
= 2f(1) = -4

put x=1, y=2
f(3) = f(1) + f(2)
= -2 -4 = -6

f(x)是减函数
x∈[-3,3]
minf(x) = f(3) =-6
maxf(x) = f(-3) = -(-6) = 6