Question

已知单调递增，求数列极限

大一高数

Answer 1

根据题意可知，an=[a(n+1)]^2-2，a1=√2
a(n+1)=√(an+2)
2-a(n+1)=2-√(an+2)
=(4-an-2)/[2+√(an+2)]
=(2-an)/[2+√(an+2)]
(2-an)/[2-a(n+1)]=2+√(an+2)>0
所以{2-an}恒大于0或恒小于0
因为2-a1=2-√2>0，所以{2-an}恒大于0，即{an}恒小于2
因为{an}单调递增，所以√2<=an<2，即{an}有界
所以{an}极限存在
不妨令极限为A，则
A=A^2-2
A^2-A-2=0
A=2或-1（舍去）
所以该数列极限为2