Question

已知圆o:x2+y2=r2(r>0)与直线x-y+2根号2=0相切

已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线x-y+2根号2=0相切．
（1）求圆O的方程；
（2）设圆O与x轴的负半轴的交点为A,过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交圆O于B,C两点,且k1k2=-2,试证明直线BC恒过一个定点,并求出该定点坐标

Answer 1

⑴ 将y=x+2√2代入x²+y²=r²中 2x²+4√2x+8-r²=0 ∵相切∴△=0 r=2 ∴⊙o的方程：x²+y²=2²
⑵由题意知,A（-2,0）,设直线AB：y=k1（x+2）,
与圆方程联立得：y＝k1(x+2) x2+y2＝4 ,消去y得：（1+k12）x2+4k12x+（4k12-4）=0,
∴xA•xB=（4k1²−4 ）/(1+k1²),即B［(2−2k1²)/( 1+k1²) ,4k1 /( 1+k1²),］
∵k1k2=-2,用−2 /k1 代替k1得：C［(2k1²−8)/( 4+k1²) ,−8k1 /( 4+k1² )］,
∴直线BC方程为:y=3k1/ (2−k1²) x+2k1/( 2−k1²) =3k1/( 2−k1² )（x+2/ 3 ）
,则直线BC定点（-2 /3 ,0）．