Question

高二数学，急！

过椭圆C:x²/8+y²/4=1上一点P(xo,yo)向圆O:x²+y²=4引两条切线PA,PB.A,B为切点，如直线AB与x轴，y轴交于M,N两点。
（1）求直线AB的方程（用xo,yo表示）；
（2）求△MON面积的最小值。

Answer 1

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
直线PA的斜率=(yo-y1)/(xo-x1)，直线OA的斜率=y1/x1，因为PA⊥OA，所以两个斜率之积为-1，即
[(yo-y1)/(xo-x1)]*[y1/x1]= -1，化简得x1xo+y1yo= x1²+y1²，
因为A(x1，y1)在圆上，所以x1²+y1²=4，所以上式进一步化简得x1xo+y1yo= 4，即
y1=(4-x1xo)/yo …………①
同理，由PB⊥OB，可得
y2=(4-x2xo)/yo …………②
由两点式得AB的直线方程为(y-y1)/(x-x1)= (y2-y1)/(x2-x1)，将①②代入化简得
AB的直线方程为xox+yoy= 4
(2)由以上AB的直线方程得：点M(4/xo，0)，N(0，4/yo)
S△MON=0.5*|4/xo|*|4/yo|=8/|xoyo|
因为xo²/8+yo²/4=1≥2√[(xo²/8)(yo²/4)]=|xoyo|/2√2,即|xoyo|≤2√2
所以S△MON=8/|xoyo|≥8/2√2=2√2

Answer 2

解：（1）设点A和点B的中点K坐标（xK，yK），
因为K在OP上且为AB中点，AB垂直于OP，
所以设：向量OK=K倍向量OP，根据直角三角形关系，求得K=4/(x0^2+y0^2)
所以K坐标为（4x0/(x0^2+y0^2), 4y0/(x0^2+y0^2)）
直线AB与OP垂直，斜率为-x0/y0(y0≠0)。
则直线AB的方程为:
y-4y0/(x0^2+y0^2)= -x0/y0(x-4x0/(x0^2+y0^2)), (y0≠0)
若y0=0，方程为x=4/x0，
（2）由以上得：点M（4/x0，0），N（0，4/y0）
S△MON=0.5*(4/x0)*（4/y0）=8/(x0y0)
因为x0^2/8+y0^2/4=1≥x0y0/2√2,即x0y0≤2√2
所以S△MON=8/(x0y0) ≥16√2

Answer 3

（一）X0X+Y0Y=4.(X0≠0).(二）min=2√2.