Question

证明方程x^5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正根

Answer 1

证明如下：

x^5-5x+1=0

证明：

f(x)=x^5-5x+1

F（0）=1，F(1)=-3，介值定理，有一个根X，使得F（X.）=0

设有X1在（0,1）X1不等于X。

根据罗尔定理，至少存在一个E，E在X.和X1之间，使得F'(E)=0

F‘（E）=5（E^4-1)〈0矛盾

∴为唯一正实根

扩展资料

有界函数判定方法：

设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M
对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界
设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）。

则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。
根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为ƒ在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是ƒ在D上的上（下）界。

根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界
。
一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，一个数列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的。

Answer 2

解:令 f(x)=x^5 -5x +1
则f'(x)=5x^4 -5=5(x^4 -1)=5(x²+1)(x²-1)
令 f'(x)>0，得 x²>1，解得 x>1或x<-1
从而 f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函数，在(-1，1）上是减函数。
又 f(0)=1，所以 f(0)f(-1)<0，而f(x)在(0,1)上减，即 f(x)在(0,1)上有且只有一个零点。
从而 方程x^5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根.

Answer 3

Δ=25-4=21>0 有根

x1+x2=5 x1×x2=1

相乘为正 可以判断出 两根通号 相加为正 可判断两根同为正

相乘为1 说明两根不可能都小于1或大于1， 那么只有一个大于1 一个小于1

所以方程有且只有一个小于1的正实根