高数大神快来求极限
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解：分享一种解法，用无穷小量替换。
∵x→∞时，1/x→0、lnx/x→0，∴sin(1/x)~1/x、e^(lnx/x]~1+(lnx)/x，
∴原式=lim(x→∞)[x^(1/x)-1)]^(1/lnx)。
而x^(1/x)-1=e^[(1/x)lnx]-1~1+(lnx)/x-1=(lnx)/x，
∴原式=e^{lim(x→∞)(1/lnx)ln[x^(1/x)-1)]}=e^{lim(x→∞)[ln(lnx)-lnx]/lnx}=e^(-1)。
供参考。
∵x→∞时，1/x→0、lnx/x→0，∴sin(1/x)~1/x、e^(lnx/x]~1+(lnx)/x，
∴原式=lim(x→∞)[x^(1/x)-1)]^(1/lnx)。
而x^(1/x)-1=e^[(1/x)lnx]-1~1+(lnx)/x-1=(lnx)/x，
∴原式=e^{lim(x→∞)(1/lnx)ln[x^(1/x)-1)]}=e^{lim(x→∞)[ln(lnx)-lnx]/lnx}=e^(-1)。
供参考。
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