曲面积分化成曲线积分,怎么确定边界曲线,比如第二题,我怎么感觉不对啊?
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推荐于2017-10-06
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都是递进关系,从一重积分开始,只说几何意义吧。
一重积分(定积分):只有一个自变量y = f(x)
当被积函数为1时,就是直线的长度(自由度较大)
∫(a→b) dx = L(直线长度)
被积函数不为1时,就是图形的面积(规则)
∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)
另外,定积分也可以求规则的旋转体体积,分别是
盘旋法(Disc Method):V = π∫(a→b) f²(x) dx
圆壳法(Shell Method):V = 2π∫(a→b) xf(x) dx
计算方法有换元积分法,极坐标法等,定积分接触得多,不详说了
∫(α→β) (1/2)[A(θ)]² dθ = A(极坐标下的平面面积)
二重积分:有两个自变量z = f(x,y)
当被积函数为1时,就是面积(自由度较大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)
当被积函数不为1时,就是图形的体积(规则)、和旋转体体积
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)
计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等
极坐标变换:{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围:0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ,rsinθ) r drdθ
三重积分:有三个自变量u = f(x,y,z)
被积函数为1时,就是体积、旋转体体积(自由度最大)
∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)
当被积函数不为1时,就没有几何意义了,有物理意义等
计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等
一重积分(定积分):只有一个自变量y = f(x)
当被积函数为1时,就是直线的长度(自由度较大)
∫(a→b) dx = L(直线长度)
被积函数不为1时,就是图形的面积(规则)
∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)
另外,定积分也可以求规则的旋转体体积,分别是
盘旋法(Disc Method):V = π∫(a→b) f²(x) dx
圆壳法(Shell Method):V = 2π∫(a→b) xf(x) dx
计算方法有换元积分法,极坐标法等,定积分接触得多,不详说了
∫(α→β) (1/2)[A(θ)]² dθ = A(极坐标下的平面面积)
二重积分:有两个自变量z = f(x,y)
当被积函数为1时,就是面积(自由度较大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)
当被积函数不为1时,就是图形的体积(规则)、和旋转体体积
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)
计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等
极坐标变换:{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围:0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ,rsinθ) r drdθ
三重积分:有三个自变量u = f(x,y,z)
被积函数为1时,就是体积、旋转体体积(自由度最大)
∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)
当被积函数不为1时,就没有几何意义了,有物理意义等
计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等
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