Question

高中数学，第二题，求解

Answer 1

(1).证明：∵Sn=2an+n ①
∴S(n-1)=2a(n-1)+(n-1) ②(n≥2)
①-②，得
an=2[an-a(n-1)]+1
则an=2a(n-1)-1
∴an-1=2[a(n-1)-1]
∴(an-1)/[a(n-1)-1]=2
令n=1，有S1=a1=2a1+1
∴a1=-1
a1-1=-2
∴数列{an-1}是以-2为首项，公比为2的等比数列

(2)解:由(1)，可得
an-1=(-2)×2^(n-1)=-2^n
故bn=n(1-an)=n×2^n
则Tn=b1+b2+b3+……+bn
=2+2×2²+3×2³+……+n×2^n
∴2Tn=1×2²+2×2³+3×2^4+……
+(n-1)×2^n+n×2^(n+1)
Tn-2Tn=2+2²+2³+2^4+……+2^n
-n×2^(n+1)
即Tn=n×2^(n+1)-(2+2²+2³+……+2^n)
=n×2^(n+1)-2^(n+1)+2
=(n-1)×2^(n+1)+2