Question

有谁能告诉我二进制是怎么算的？

Answer 1

二进制

同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满10进一”，对于其他进制则感到陌生。实际上，你只要留心一下，在我们的日常生活中，不仅使用十进制，还使用其他许多进制呢！你不信？我举一些例子。

两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于一平方米，100平方厘米等于一平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于一千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；……。

怎么样？实际上还可以发现更多的这样的例子。

随着科学技术的发展，数字电子计算机的使用日益普遍，每位同学可能都使用过电子计算器吧？可是你们要知道，计算器内部进行的计算就使用的是二进制数。我们经常和计算器打交道，应该懂一些二进制数方面的知识。

1.什么叫二进制

所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”。即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制数只需用“0”与“1”表示就够了）。例如：2在二进制中是10；3写成二进制数是11；4写成二进制数便是100，那么5呢？应该是101。

同学们按照“逢二进一”（或“满二进一”）的法则，很容易得到以下两种进制的数字的对照表：

表1

二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态——0或1。这样，我们便可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮（在计算机中主要用电压的高与低）等等手段加以表示。下面表2中列出了在二进制中13的几种不同表示方法。

表2

当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多。

2.十进制与二进制的互相转化

今天，当我们写上一个数目1997时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，即

1997=1×1000+9×100＋9×10+7×1

也就是说：1997中含有一个1000，九个100，九个10与七个1。

在表1中可以看到：二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律：二进制数100000应该表示十进制数32，…。那么我们写下一个二进制数10110，则应表示它含有一个16，一个4与一个2，也就是

10110=1×16+0×8+1×4+1×2+0×1

明白了上面所说的两点，则二进制与十进制之间的转化的道理就容易懂了。为了叙述的方便，我们约定：用（ ）2表示括号内写的数是二进制数，如（1011）2；用（ ）10表示括号中写的数是十进制数，如（37）10。

例1 把（10110）2改写成十进制数。

解 （10110）2=1×16+0×8＋1×4+1×2+0×1

=16＋4+2

=（22）10

例2 把（1110101）2改写成十进制数。

分析：因为位数太多，我们先从低位写起。

解 （1110101）2=1×1+0×2+1×4+0×8+1×16+1×32+1×64

=1+4+16+32＋64

＝（117）10

从上面两道例题可以看到：将一个二进制数写成十进制数的第一步骤是：将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数。因为是“满二进一”，所以高位是相邻低一位数的2倍。一个二进制数的各个数位（由低位到高位）对应十进制数的规律是：

1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，…

第二个步骤是将各数位上对应的十进制数求和，所得结果便是相应的十进制数。再看一题。

例3 将（110100111）2改写成十进制数。

分析：还是由低位写起。

解 （110100111）2=1×1+1×2+1×4＋0×8+0×16＋1×32＋0×64＋1×128＋1×256

=1+2＋4+32+128+256

＝（423）10

下面我们介绍如何将一个十进制数改写成相应的二进制数。

例4 把（60）10改写成二进制数。

解 （60）10=32＋28

=32+16+12

=32＋16＋8＋4

=32+16+8＋4+0×2＋0×1

=（111100）2

说明：从解题过程中立即便能看出，将十进制数写成二进制数的过程，正好与将二进制数改写成十进制数的过程相反：先由高位开始考虑，将十进制数尽可能地凑出相应二进制数的最高位，然后逐步往下进行。

例5 把（45）10改写成二进制数。

分析：（45）10不足64，所以它对应的二进制数的最高位是32，即45=32＋13，剩下的13不足16，则向下一位考虑。45=32＋0×16＋（8＋5），剩下的5中包含一个4，即45=32＋0×16＋8＋4＋1，最后一位数是1，又不足2，所以对应的二进位数又空一位。

解 （45）10=32＋0×16＋8＋4＋0×2＋1

=（101101）2

练一练：

（1）将（31）10改写成二进制数；

（2）将（78）10改写成二进制数。

下面我们再介绍一种将十进制数写成二进制数的常用方法——除二倒取余法。例如要将（71）10写成二进制数，参见下式。我们将71除以2，余数1相应写在右边（如果除尽，余数则写0）；再将商35除以2，余数1相应写在右边；再将这步的商17除以2，重复上述过程，直到商等于1为止。并且最后一步的商“1”也写到右边余数那一列的最下面。最后将这列余数由下到上写成一行数，这行数便是（71）10的二进制数表示法。即

（71）10=（1000111）2

例6 用除二倒取余法将（38）10写成二进制数。

解 ∵

∴（38）10＝（100110）2

例7 用两种方法将（107）10改写成二进制数。

解 方法一

（107）10=64+43

=64＋32+11

=64＋32＋0×16+8+3

=64＋32+0×16＋8＋0×4+2+1

＝（1101011）2

方法二 ∵

∴（107）10=（1101011）2

Answer 2

二进制，十进制，16进制计算原理是一样的，只是我们习惯10进制而已

计算机部件只管高、低电平，就等于只认识要么1要么0

下面是二进制计算：
二进制：1+1=10+1=11+1=100+1=101
以下是对应关系
十进制：0000 0001 0002 0003 0004 0005 0006 0007 0008 0009 0010 0011 0012 0013 0014 0015
二进制：0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
16进制：0000 0001 0002 0003 0004 0005 0006 0007 0008 0009 000A 000B 000C 000D 000E 000F

以下是计算
十进制：0004+0010=0014，0015+0002= 0017
二进制：0100+1010=1110，1111+0010=1,0001
16进制：0004+0010=000E，000F+0002=1,1

如此看来怎么计算只要规则统一，不管是几进制算出来的结果还是那么些个数，就是要相互转换而已。

综合上面规律，10进制和二进制没有直接联系，而二进制和16进制保持4位二进制=1位16进制，比如：101011就何以理解成：0010和1101对应上表16进制应该是2D。
16进制2D比二进制00101101从书写记忆到转换成10进制计算要省事的多是把？

所以16进制是为了简化二进制而衍生的进制（包括8进制，32进制，还可以出来一个64/128进制）

还有就是计算机数字通常1024=1K,1024=2*2*2*2*2*2....

Answer 3

例如
二进制数：1011

就等于十进制：2的0次方+2的2次方+2的3次方=13

即从左到右，从左边第一个起，为1就0次方，为0就不用加；

1011—>0,2,3
也就是说：
2的n-1次方相加，其中为0的那一条就不用加，
哈哈，
其他的进制也差不多这样了，只是底数不同。

Answer 4

最简单的方法，打开开始，程序，附件中的计算器，换成科学型，打入十进制，再点二进制，马上就解决了。

Answer 5

简单的不得了，“逢二进一”
如：0000+1=0001
0001+1=0010（注意可不得2呦！逢二进一！）
0010+1=0011
0011+1=？你自己想一想？

恭喜你对了！=0100！