Question

两道奥数题。求大神指教。

1.已知数轴上点A,B,C所对应的数a，b，c都不为0，且C是AB的中点，如果|a+b|-|a-2c|+|b-2c|-|a+b-2c|=0，那么原点O的位置在（）
A.线段AC上 B.线段CA的延长线上 C.线段BC上 D.线段CB的延长线上

2.有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数X1，只显示不计算，接着再输入整数X2后则显示|X1-X2|的结果。比如依次输入1，2，则输出的结果是|1-2|=1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算。
若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10，求k的最小值。

Answer 1

1. 因为数轴上点A,B,C所对应的数a，b，c都不为0，且C是AB的中点

   所以a+b=2c

   由|a+b|-|a-2c|+|b-2c|-|a+b-2c|=0得

   |a+b|-|-b|+|-a|-0=0

   即|a+b|=|b|-|a|

   所以a，b异号且|b|>|a|

   就是|OB|>|OA|,因而点O在A,C之间.故选A

2. 由于输入三个互不相等的正整数2，a，b，|a-b|不超过a，b中最大的数．则k=||2-a|-b|不超过2，a，b中最大的数

   因为k的最大值为10，则a,b中有一个大于10；即至少是11；
   

   当2是最小值时，k=||a-b|-2|最小值是6

   当a,b中有一个是1时，即1是最小值时，k=||a-2|-1最小值是8
   

Answer 2

1) A
c为中点 则a+b=2c a-c=c-b
|a+b|=|2c| |a-2c|=|a-c-c|=|b| |b-2c|=|b-c-c|=|a| |a+b-2c|=0
则|2c|-|b|+|a|=0
若在AC上 则 a<0<c<b 又2c=b+a 则 2c-b-a=0显然成立
若在CA延长线上，则 b>c>a>0 又2c=b+a 则2c-b+a=0显然不成立
若在BC上 则 a<c<0<b 2c=b+a 则-a-2c-b=0显然不成立
若在CB延长线上 则 a<c<b<0 2c=b+a 则 -2c+b-a=0显然不成立
2）k=|b-|2-a|| k最大值为10
又 a≠b≠2 且为正数
则当a=1时,则b>2 k=|b-1|=b-1最小值为当b=3时，此时k=2
当a≠1时，则a>2 k=|b+a-2|=b+a-2 则此时当b (a-2)取得最小时，k则最小，b最小取得1，（a-2）最小取得1 则k最小取得2
所以综上所得 k 的最小值为2