Question

简单，初三几何题

如图，已知三角形ABC中，BC＝AC，角C＝90度，点O是AB的中点，圆O与AC，BC分别切于点D，E。设圆O交OB于点F，连接DF并延长交CB的延长线于点G。
（1）角BFG与角BGF是否相等？为什么
（2）若圆O的半径为3，求由DG，GE和弧ED所围成的图形的面积（阴影部分）

Answer 1

解：（1）.相等
链接OD两点。由题可知，三角形ACB为等腰直角三角形，O为斜边AB中点，AC为圆的切线，则OD垂直AC，即OD平行于BC，推出角DOA=角CBA。
因为角OFD=角ODF,所以角DOA=2倍的角OFD，因为角OFD与角BFG为对顶角，所以两角相等。即角DOA等于2倍的角BFG.
又因为前面推出角DOA=角CBA，所以角CBA=2倍的角BFG；且角CBA=角BFG+角BGF，所以角BFG与角BGF相等。
2.连接CO.则三角形CDO为等腰直角三角形，且D,E为AC和CB的中点。由题数据可得CD=3,
所以AC=6，计算出AB等于6倍根号3，所以FB等于（6倍根号3-6）/2.
三角形DGC的面积为（DC乘以CG）/2.
因为CG等于CB+BG=6+（6倍根号3-6）/2
又因为DC等于3，所以三角形面积就出来了，再减去里面的白色的面积后剩下的面积即为所求。你自己算一下，我的思路应该没有错误，只是计算不是很方便，你辛苦一下了。（提示：CDOE为正方形，减去四分之一圆的面积就是三角形CDG内的白色的面积）。

Answer 2

1.连接OD ,OF=OD,OD平行CG 可证相等
2.BF=BG=正方形对角线减圆半径的1/2 可以求出三角形CDG的面积，减CDE 即可

Answer 3

连接OD,OE,则OD⊥AC, OE⊥CG, ∴OD‖GC===>∠BGF=∠FDO
∵OD=OE, ∴∠FDO=∠DFO=∠BFG, ∴∠BFG=∠BGF===>BF=BG

连接CO,DE 则CO垂直平分AB, ∴AD=DC=CE=EB=3
AO=BO=3√2, ∴AB=6√2====>BF=(6√2-6)/2=3√2-3=BG
∴EG=EB+BG=3√2, ∴S△DEG=CD*EG/2=9√2/2
S弓形DE=π*3²/4-3*3/2
∴GE和弧ED所围成的图形的面积=9/4(π+2√2-2)