Question

数学的几道题目

1.对满足0≤p≤4的所有p,不等式组{x>3-p , x>1 与不等式组{x>3-p , x<1至少有一个恒成立，则x的范围是_____。
2.解关于x的不等式|x-1|≥ax.
3.设四边形ABCD的面积为1，E、F，G、H分别为AB，CD的三等分点，求EFGH的面积。

【第三题的四边形是任意四边形。】

Answer 1

1、0≤p≤4分成两部分分析，0≤p≤2和2≤p≤4，必须对所有的都满足才行，{x>3-p , x>1 }当x>3时都满足成立条件，{x>3-p , x<1}当p=0时就不满足“对满足0≤p≤4的所有p,不等式组{x>3-p , x<1恒成立”的条件，所以扔掉
答案：x>3
2、|x-1|≥ax，ax≤0时恒成立，a>0时x≤0，a<0时x≥0，a=0时x取任意值。ax>0时，x-1≥ax或x-1≤-ax，(a-1)x≤-1或(a+1)x≤1，再按a<-1，a=-1，-1<a<0，0<a<1，a=1，a>1进行分段讨论，注意别忘了连ax>0也讨论上
3、第三题太难，做不出来，知道结果，1/3，证明不出来

Answer 2

待定系数法

一:

令x=ax+b代入f（x）=x2+4x+3
f(ax+b)=a2x2+2(ab+2a)x+(b2+4b+3)
=x2+10x+24

所以a=1 b=3

5a-b=2

二:

设f（x）=ax2+bx+c

ax2+bx+c>-2x ....1
ax2+bx+c+6a=0 ....2

f(x)＞-2x的解集为(1,3)
x1=1 ,x2=3 ,且a＜0
a+b+c+2=0 且9a+3(b+2)+c=0 .....3

两个相等的根△＝b^2 -4a(c+6a)＝0 .....4

联立3 4 得

a＝-1/5 、b＝-6/5 、c＝-3/5

f（x）= -1/5 *(x^2 +6x +3)

三:

设f（x）=ax2+bx+c

f（0） =c=1

f（x+1） - f（x）
=a(x+1)2+b(x+1)+c - [ ax2+bx+c ]
=2ax + a+b
=2x

所以 a=1 b=-1

f（x）=x2-bx+1

四:

不妨令x=-1 则:y=a-b+c>0

∵a＜0∴二次函数y=ax^2+bx+c开口向下
∵a-b+c＞0，∴与X轴的一个交点大于-1，小于0
由题可以选B

五:

f（x）=x3+2x2-5x-6
=(x3+x2)+(x2-5x-6)
=x2(x+1)+(x-6)(x+1)
=(x+1)(x2+x-6)
=(x+1)(x-2)(x+3)

所以 a=1 b=-2 c=3