Question

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3，短轴的一个端点到右焦点的距离为3。 1，求C的方程

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3，短轴的一个端点到右焦点的距离为3。
1，求C的方程；
2，设直线L与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线的距离为√3/2，求三角形AOB的面积的最大值；

Answer 1

1，即a=3,
e=√6/3=√(1-b2/a2) 解得b=√3
方程为x2/9+y2/3=1
2，求出直线方程：y=ax+√3/2√(a2+1)
设A(x1,y1)B(x2,y2)
AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(a2+1)(x1-x2)2
联立直线与椭圆方程得：
（3a2+1)x2+3a√[3(a2+1)]x+9(a2+3)/4=0
(x1-x2)2=``
最后解得a=0时AB最大，面积最大值为9/4
其实这一题有最简单的分析方法，直接到这一步：
把直线看做以原点为圆心，半径为√3/2的圆的切线，作平行于X轴的切线