Question

校园里有一块三角形的绿的，边长分别是13,14,15，求三角形的面积。

我没有学过余弦定理和海伦定理，要用和勾股定理有关的知识点回答。

Answer 1

△＝√[s(s-a)(s-b)(s-c)]

 其中s=1/2(a+b+c)

 这个已知三边求三角形面积公式是由古希腊的著名数学家海伦提出一般称之为海伦公式。

解法一：

S=1/2（13+14+15）=21

△＝√[21(21-13)(21-14)(21-15)]

  =√（21×8×7×6)

  =84(单位平方) 

解法二：

设三角形的三边分别为：AB=13,BC=14,AC=15  

 过顶点A作AE⊥BC于E点.

设BE=x,则EC=BC-BE=14-x.

 在△AEB中，AE^2=AB^2-BE^2=13^2-x^2.              (1)

 在△AEC中，AE^2=AC^2-EC^2=15^2-(14-x)^2          (2)

∵(1)=(2):

∴13^2-x^2=15^2-(14-x)^2.

化简得： 

 28x=140.

 x=5.

 AE^2=AB^2-x^2=13^2-5^2=169-25=144.

∴AE=12 

∴三角形的面积S=(1/2)*AE*BC=(1/2)*12*14=12*7=84(单位平方）。

Answer 2

边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
[证明]:设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

本题中a=13,b=14,c=15,p=21,代入公式得：
S=√(21×8×7×6)=84.

Answer 3

解法一：用海伦公式：
三角形的半周长s=(13+14+15)/2=21.
三角形的面积S=√s(s-13)(s-14)(s-15).
S=√21(21-13)(21-14)(21-15).
=√21*8*7*6.
=√7056.
=84.
故，三角形的面积S=84(面积单位）。

解法二：
设三角形的三边分别为：AB=13,BC=14,AC=15 (长度单位）。
过顶点A作AD⊥BC于D点.
设BD=x,则DC=BC-BD=14-x.
在Rt△ADB中，AD^2=AB^2-BD^2=13^2-x^2. (1)
在Rt△ADC中，AD^2=AC^2-DC^2=15^2-(14-x)^2 (2).
(1)=(2):
13^2-x^2=15^2-(14-x)^2.
化简得：
28x=140.
x=5.
AD^2=AB^2-x^2=13^2-5^2=169-25=144.
∴AD=12 (长度单位）。
∴三角形的面积S=(1/2)*AD*BC=(1/2)*12*14=12*7=84(面积单位）。

Answer 4

海伦公式

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2
此题p=21

∴s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=√（21*8*7*6）
=√（7*3*2*4*7*3*2）
=√（7²*2²*2²*3²）
=7*2*2*3
=84

既然没有接触过海伦公式，今天看到了。就应该学习啊。
连这点学习精神都没有，
你还学数学干嘛？
有个这么好的公式你不学着用
你非要用勾股定理
难道数学解题就必须这么死板吗？
你参加过奥数吗？
奥数里面的题目有几个题目是能用书本知识直接算出结果的？？

数学就应该变通，一题多解很正常，
海伦定理终身受用，我相信你用这个公式求解，你的数学老师肯定会夸奖你的