Question

数学高二 椭圆双曲线。谢谢。

Answer 1

（1）设圆心为E(m, n)，则其关于F(1, 0)的对称点依中点坐标公式可换为(2-m, -n)；圆E半径等于圆心到切线x=4的距离即 r=|4-m|，则圆E方程为 (x-m)²+(y-n)²=|4-m|²
将在圆上的对称点(2-m, -n)代入圆方程为 (2-2m)²+(-2n)²=16-8|m|+m²=16±8m+m²
化简为 3m²-8m-12+4n²=±8m 得到2个方程，即
①3m²+4n²=12 即 m²/4+n²/3=1 是中心在(0, 0)，半长轴为a=2的一个椭圆
②3m²-16m+64/3+4n²=100/3 即 9(m-8/3)²/100+3n²/25=1 是中心在(8/3, 0)半长轴a=100/9的一个椭圆，因为当n=0时，m=±10/3+8/3=6或-2/3，导致圆心对称点为x=-4或8/3，此时圆E与x=4相交或相离，不相切，所以不符，舍去。
所以，圆心C的轨迹E方程为 m²/4+n²/3=1 即 x²/4+y²/3=1
（2）直线m经过F(1, 0)，则
①当m∥l时，可知直线m方程为 x=1，与椭圆E方程联立得 y=±√3即 |AB|=2√3, |FP|=4-1=3 则 S△PAB=1/2×|AB|×|FP|=3√3
②当m不平行且不垂直l时，可设m方程为 y=k(x-1), k≠0 代入椭圆E方程有
(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0 有A，B两交点则△=64k^4-48k²+144-64k^4+192k²=144(k²+1)
x1.2=(4k²±6√(k²+1))/(3+4k²) 对应 y1,2=自己代入 y=k(x-1)去算，得到线段|AB|的长为底
然后点P(4, 0)到直线y=k(x-1)的距离为高，然后确定 面积取值范围——休息 *-~