Question

高中数学函数与导数试题一个求解

已知函数f(x)=ax-lnx．
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)<a在区间(0,1)上有解，求实数a的取值范围．
第二问应是：若关于x的不等式f(x)<a在区间(0,1)上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

(1)函数定义域x>0
f'(x)=a-1/x=(ax-1)/x
当a≤0时，f'(x)恒<0 f(x)为减函数，即单调递减区间x∈(0,+∞)
当a>0时，驻点x=1/a
f''(x)=a>0 驻点为极小值点
∴单调递减区间：x∈(0,1/a)
单调递减区间：x∈(1/a,+∞)
(2)题目应该有误，是否是f(x)=a在区间(0,1)上有解？
令g(x)=f(x)-a=ax-lnx-a x∈(0,1)
g'(x)=a-1/x
a≤0时 g(x)是减函数，g(x)<g(1)=0
∴g(x)无零点
a>0时，
驻点1/a≥1→a≤1时,区间x∈(0,1)位于极小值点的左侧，单调递减
g(x)<g(1)=0，g(x)无零点
驻点1/a<1→a>1时,区间x∈(0,1)包含极小值点，只要极小值f(1/a)=1+lna-a≤0,由连续函数零点定理，g(x)一定有零点
令h(a)=1+lna-a a>1
h'(a)=1/a-1 驻点a=1 为极大值点,h(a)≤h(1)=0
∴f(1/a)=1+lna-a<0
∴实数a的取值范围是a>1

追问

是不等式 不是方程
可否用分离的方法

追答

不等式其实是一样的，a>1时，f(x)=a必定有两解，极小值<0,故两解之间的区间，即为不等式的解。

Answer 2

u=2x²-1，则u'=4xy=loga(u)所以y'=1/(ulna)*u'=4x/[(2x²-1)*lna]=4x/(2x²-1)*loga(e)选A