Question

已知：x1，x2是关于x的方程x^-kx+k-1=0的两个实数根，求y=（x1-2x2）（2x1-x2）的最小值。

Answer 1

由题意，y=(x1-2x2)(2x1-x2)
=2x1²-x1x2-4x1x2+2x2²
=2(x1+x2)²-9x1x2
因为x1,x2是x²-kx+k-1=0的实数根，所以:
x1+x2=k
x1x2=k-1
所以y=2k²-9(k-1)
=2k²-9k+9
=2(k-9/4)²+9-2*81/16
=2(k-9/4)²-9/8
同时,对于方程x²-kx+k-1=0有两个根，所以有△>0
---->k²-4(k-1)>0
---->(k-2)²>0
---->k≠2
所以y的最小值是当k=9/4时取得，最小值为：-9/8

Answer 2

∵x1，x2是关于x的方程x^-kx+k-1=0的两个实数根
∴x1+x2=k
x1*x2=k-1
k^2-4(k-1)≥0 得k∈R
y=（x1-2x2）（2x1-x2）=2x1^2-5x1x2+2x2^2=2(x1+x2)^2-4x1x2-5x1x2
=2(x1+x2)^2-9x1x2=2k^2-9(k-1)=2(k^2-k*9/2 +81/16)-81/8 +9
=2(k-9/4)^2 -9/8
∵k∈R
∴k=9/4时，y取得最小值，y(min)=9/8