Question

在四边形ABCD中，对角线AC与BD交与点O，且AC=BD，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF交BD，AC于M，N，试说明O

在四边形ABCD中，对角线AC与BD交与点O，且AC=BD，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF交BD，AC于M，N，试说明OM=ON

Answer 1

证明：取BC的中点P，连接PE，PF
则PE是△ABC的中位线
∴PE‖AC，PE=1/2AC
同理PF‖BD，PF=1/2BD
∵AC=BD
∴PE=PF
∴∠PEF=∠PFE
∵∠PEF=∠OMN，∠PFE=∠ONM
∴∠OMN=∠ONM
∴OM=ON

Answer 2

取AD的中点G，连接EG、FG。

EG是△ABD的中位线，可得：EG‖BD ，EG = (1/2)BD ；
FG是△ACD的中位线，可得：FG‖AC ，FG = (1/2)AC ；
已知，AC = BD ，可得：EG = FG ，所以，∠GEF = ∠GFE 。

因为，EG‖BD ，FG‖AC ，
所以，∠OMN = ∠GEF = ∠GFE = ∠ONM ，
可得：OM = ON 。