Question

高等数学求反常积分的题，第5题，求详解，谢谢！

Answer 1

(5) I = ∫ e^(-pt) sinwt dt = (-1/p) ∫ sinwt de^(-pt)
= (-1/p) e^(-pt) sinwt + (w/p) ∫ e^(-pt) coswt dt
= (-1/p) e^(-pt) sinwt - (w/p^2) ∫ coswt de^(-pt)
= (-1/p) e^(-pt) sinwt - (w/p^2) e^(-pt) coswt
- (w^2/p^2) ∫ e^(-pt)sinwt dt
则 (1+w^2/p^2) I = -(1/p^2)e^(-pt)[psinwt + wcoswt)
I = [-1/(p^2+w^2)] e^(-pt) [psinwt + wcoswt)
原反常积分 = [-e^(-pt) [psinwt + wcoswt) / (p^2+w^2)] <0, +∞>
= w/(p^2+w^2)， 故收敛。