Question

已知，如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为点E，点D与点A关于点E对称，PB分别于线段CF，AF相交于点P，M求证

已知，如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为点E，点D与点A关于点E对称，PB分别于线段CF，AF相交于点P，M求证AB=CD若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由 过程！！！

Answer 1

∠F＝∠MCD。
证明：
(1) 连接BD,
∵AF平分∠BAC，BC⊥AF,点D与点A关于点E对称,
∴四边形ABDC为菱形。
∴AB＝CD,
(2)∵AF垂直平分BC.
∴MC＝MB,DC＝DB,
∴△MBD≌△MCD
∴∠MBD＝∠MCD
又∵∠BAC=2∠MPC,
∴∠DAB＝∠MPC
又∵∠DAB＝∠BDA
∴∠BDA＝∠MPC
又∵∠MPC＝∠F＋∠PMF,∠BDA＝∠MBD＋∠BMD
∠BMD＝∠PMF
∴∠F＝∠MBD
∴∠F＝∠MCD

Answer 2

：∠F=∠MCD，理由如下：
∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴CE=BE（注：证全等也可得到CE=BE），
∴AM为BC的中垂线，
∴CM=BM．（注：证全等也可得到CM=BM）
∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合一）．
∴∠CME=∠BME（注：证全等也可得到∠CME=∠BME．），
∵∠BME=∠PMF，
∴∠PMF=∠CME，
∴∠MCD=∠F．（注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F）