Question

整式的恒等变形

已知：a\b\c\d满足a+b=c+d, 3 3 3 3
a +b =c +d
求证： 1993 1993 1993 1993
a +b =c + d

Answer 1

因a+b=c+d.结合a3+b3=c3+d3.===>(a+b)(a2-ab+b2)=(c+d)(c2-cd+d2)==>(a+b)[(a+b)2-3ab]=(c+d)[(c+d)2-3cd].===>(a+b)3-3ab(a+b)=(c+d)3-3cd(c+d).===>-3ab(a+b)=-3cd(c+d)=-3cd(a+b).===>(a+b)(ab-cd)=0.(一）当a+b=0时，a.b是互为相反数，其奇次方也是互为相反数，故a^2007+b^2007=0,同理，c^2007+d^2007=0.故所证的式子成立。(二）若a+b=c+d≠0,则必有ab-cd=0.===>ab=cd.可设a+b=c+d=t.(t≠0)==>b=t-a,d=t-c.===>ab=a(t-a)=cd=c(t-c).===>ta-a2=tc-c2===>(a-c)[t-(a+c)]=0.(1)若a-c=0.===>a=c,此时，b=d.显然此时所证式子成立。（2）若a-c≠0,则必有t-（a+c)=0.===>t=a+c.又由所设t=a+b.===>a+c=a+b.===>b=c.故a=d.显然，此时所证的式子成立。综上可知，原式子成立。

说实话，我没做出来，但我找到类似答案了，也就是说，为了满足那两个条件，
只有3种可能：1 a+b=c+d=0 2 a=c,b=d 3 a=d,b=c，所以任何奇数次方和都是相等的