Question

若双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1/4,求离心率

Answer 1

设焦点F至一条渐近线距离为d,焦距为2c,
d/(2c)=1/4,d/c=1/2,
设渐近线与X轴倾角为θ，sinθ=d/c=1/2,θ=30度，
渐近线方程为：y=bx/a,
tan30°=b/a=√3/3，
b=√3a/3
离心率e=c/a,
c^2=a^2+b^2=4a^2/3,
c=2a/√3,
∴e=2√3/3.

Answer 2

解：作图，过右焦点F作渐近线Y=bX/a的垂线，设垂足为E，则直角三角形OEF的斜边OF长为半焦距c,而tanEOF=b/a,又已知EF=2c的1/4=c/2,所以OE=a=√3c/2
所以离心率e=c/a=2/√3=2√3/3.