Question

k为何值时，反常积分收敛？两题答案都是k＜1，写出过程

Answer 1

（1）∫x^(-k)dx＝1/(1-k)x^(1-k)
（2）∫(x-a)^(-k)dx＝1/(1-k)(x-a)x^(1-k)
反常积分是不是收敛的判断方法,就是在没有无穷型间断点的区域上积分后,
将积分的上下限代入,若可以直接算就直接算；若不能直接算就取极限,极限
存在就收敛,极限不存在就不收敛。
（1）中x＝0和（2）中x＝a时若极限存在，则1-k＞0，所以k＜1

追问

第一题，为什么极限存在，就要1-k＞0？

1/x^k的积分是x^(1-k)/1-k

然后为什么1-k＞0，极限存在？

limx→0，x^(1-k)/(1-k)的极限怎么分情况？为什么1-k＞0，极限存在

追答

x的范围是（0，1）

追问

第二题，要判断的极限是limx→a＋，(x-a)^(1-k)/(1-k)

为什么1-k＞0的时候，极限存在？

x－a的范围好像没说