Question

二重积分极坐标角度范围

这个角度范围为什么不能写四分之七π到2π？

Answer 1

完全可以写[7/4π, 2π]。
从几何角度，图中是在[-π, π]区间求解θ，而你完全可以在[0, 2π]区间计算θ范围。
从代数角度，实际上是θ1=θ+2π换元，最后定积分等式仍然成立

追问

这道题目换个角度的话 积分结果肯定不一样 我做过了

追答

那显然是你算错了

前面已经从几何和代数两个角度解释了，上面给出了代数方法的具体过程

追问

这道题目中被积函数中有一个不是三角函数 而是seita 所以结果不一样

追答

跟被积函数无关，这是三角函数的性质，2π是一个周期，你把区间写成[-π/4+2kπ, 2kπ]，计算结果都是一样的

追问

内层积分算完之后是不是就是我截图那个函数？那外层积分角度范围不同 就这个被积函数来说 结果一定不一样啊 我们就说这道题 就是我截图的这个结果 你说角度范围不同 积分结果一不一样？？？

内层积分算完之后是不是就是我截图那个函数？那外层积分角度范围不同 就这个被积函数来说 结果一定不一样啊 我们就说这道题 就是我截图的这个结果 你说角度范围不同 积分结果一不一样？？？

追答

如果角度不同，内层积分结果就不是你截图那个。你截图那个是换元得来的，θ范围不同了，换元后的积分限也不一样了

追问

首先这道题目就用解析的方法来做一定没问题，对吧。内层积分的方法没问题，对吧。那内层积分做完之后就是我截图的被积函数的形式啊，接下来，如果外层积分的范围，写成【-π/4,0】和【7π/4,2π】结果就不一样了啊，问题出在哪里？内层积分的方法错了？

追答

参考上一条回答，θ范围不同的话，计算内层积分时换元后t的上下限也就不同了

具体到这题，如果用[7/4π, 2π]来做，内层积分换元后t的上限是-θ+2π

追问

θ不管什么范围，内层的换元就是这样的 怎么会有不同？不管θ什么范围，内层积分中用r=2asint换完不都是，下限是0，上限是-θ。

追答

不是的，你没有理解换元法

Answer 2

是因为arcsin的值域是在－π/2到π/2上的，所以你选取角度的范围时最好也在这上面