Question

一道初三数学题：如图10，在△ABC中，点D为AB上一点，以CD为直径作圆O交AC于点E，点F为弧DE的中点，

Answer 1

（1）AB是⊙O的切线.

【理由】

∵F是弧DE的中点，

∴弧DF=弧EF，

∴∠DCF=∠ACF（等弧对等角），

∵∠ADF=∠ACF，

∴∠ADF=∠DCF，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CFD=90°，

∴∠CDF+∠DCF=90°，

∴∠CDF+∠ADF=90°，

即∠ADO=90°，

∴AB是⊙O的切线.

（2）

解：

∵AD=BD，CD⊥AB，

∴AC=BC，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠DCF=∠ACF=22.5°

在CF上截取GF=DF，连接DG，则△DFG为等腰直角三角形，

∴∠DGF=45°，

∴∠GDC=∠DCG=22.5°，

∴DG=CG，

设DF=GF=1，则DG=CG=√2，CF=CG+GF=√2+1，

tan∠DCF=DF/CF=1/（√2+1）=√2-1.