Question

高数二重积分问题

设f（x,y)连续，且f(x,y)=xy+∫∫Df(u,v)dudv,其中D是由Y=0，Y=X²和X=1围城的区域，则f（x，y）=？ 求解

Answer 1

【解法1】令
?
D
f(u，v)dudv＝A，则 f（x，y）=xy+A，所以
A=
?
D
f(u，v)dudv=
?
D
f(x，y)dxdy
=
?
D
（xy+A）dxdy
=
∫
1
0

dx
∫
x2
0

(xy+A)dy
=
1
3
A+
1
12
，
所以 由 A=
1
3
A+
1
12
可得，A=
1
8
．
所以
f（x，y）=xy+
1
8
．
故选：C．
【解法2】因为f（x，y）=xy+
∫∫
D
f（u，v）dudv，
等式两边在区域D上积分，则有

?
D
f(x，y)dxdy
=
?
D
xydxdy+
?
D
(
?
D
f(u，v)dudv)dxdy
=
?
D
xydxdy+
?
D
dxdy
?
D
f(u，v)dudv（∵
?
D
f(u，v)dudv是一个常数）
=
?
D
xydxdy+
?
D
dxdy
?
D
f(x，y)dxdy（∵积分值与积分变量无关）．
因为

?
D
xydxdy=
∫
1
0

dx
∫
x2
0

xydy=
1
2
∫
1
0

x5dx=
1
12
，

?
D
dxdy=
∫
1
0

dx
∫
x2
0

dy=
∫
1
0

x2dx=
1
3
，
所以

?
D
f(x，y)dxdy=
1
12
+
1
3
?
D
f(x，y)dxdy，
从而
?
D
f(x，y)dxdy=
1
8
．
代入方程可得，
f（x，y）=xy+
1
8
．
故选：C．