Question

求一套数学证明题

直角三角形ABC，其中∠C=90°，∠B=30°，△ABD、三角形BCE均为等边三角形，线段DE交AB于F，求证F为DE的中点；AF=3BF

Answer 1

过D做DM⊥AB于M
设AC=1则AB=AD=BD=2,BC=BE=CE=√3(勾股定理)
∵∠DAB=60°，∠ADM=30° AD=2 DM⊥AB
∴DM=√3(AM=1)
∴DM=BE=√3
∵∠ABC=30° ∠CBE=60°
∴∠FBE=90°
在△DMF与△EBF中
DM=BE
∠FBE=∠DMF=90°
∠DFM=∠BFE(对顶角相等)
∴△DMF≌△EBF(AAS)
∴DF=FE FM=FB
∵等边△ABD DM⊥AB ∴AM=BM（三线合一） ∴AF=3BF