各位大佬，高数非齐次线性微分方程的特解y*怎么设?就是Qm(x)，怎么设。
如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。
若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。
比如如果Pn（x）=a（a为常数），则设Qm(x)=A（A为另一个未知常数）；如果Pn（x）=x，则设Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）=x^2，则设Qm(x)=ax^2+bx+c。
若0是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*Qm(x)。
若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*Qm(x)。
类比线性代数方程：
a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = c
是非齐次的，因为未知数 xi 的次数是 1，但常数项是 0 次的。
而
a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = 0
就只有 1 次项，所以称为齐次的。
系科仪器
2024-08-02 广告
如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。
若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ＝0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。
比如如果Pn（x）＝a（a为常数），则设Qm(x)=A（A为另一个未知常数）；如果Pn（x）＝x，则设Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）＝x^2，则设Qm(x)=ax^2+bx+c。
若0是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ＝0，即y*=x*Qm(x)。
若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ＝0，即y*=x^2*Qm(x)。
概念
线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交。
由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。
如图
Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式
举个例子
二阶微分方程为……=2e^x
此时Pm(x)=2
设Qm(x)=b
如果二阶微分方程为……=2xe^x
设Qm(x)=ax+b
如果二阶微分方程为……=2x²e^x
设Qm(x)=ax²+bx+c(不过这种情况的题目很少很少见，我是没见过)
Rm(x)是m次多项式，m=max{l,n}
什么意思呢？
跟上面的类似。
假设二阶微分方程为……e^x(2cosx+2sinx)
明显此时为Pl(x)=Pn(x)=2，那么就是x^0
设Rm1(x)=a，Rm2(x)=b
如果二阶微分方程为……e^x(2xcosx+2sinx)
这时候最大次数是x^1，
所以设Rm1(x)=ax+b，Rm2(x)=cx+d
二次方的我就不列举了，很少见。
跪谢○|￣|_
如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。
若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ＝0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。
通解
1、两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
2、两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)
3、一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
简介
一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=Q(x)。
齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。
1、对应题主的情况一，Qm(x)=b0
原方程 y"+y'-2y=2e^x
原方程对应的齐次特征方程 r^2+r-2=0，
齐次特征根 r1=1
r2=-2
然后看到原方程等号右端为 2e^x，
将 2e^x 与 x^k·Pm(x)·e^λx 比较，很明显可以看出λ=1
λ=1=r1，而λ≠r2，可以看到λ为单特征根因为只与其中的一个r1相等
所以k=1，因为单特征根所以k取1。
还记得回答顶部的方程①吗？
方程①变成了 f(x)=x^1 · Pm(x) · e^1x =x · e^x · Pm(x)
发现m还不知道，再将 x·e^x·Pm(x) 与 2e^x 比较，
很明显可以看出Pm(x)=2，所以设Qm(x)=b0，常数对应常数嘛
因为 f(x)=x·e^x·Pm(x) 中的x是根据k取得，跟Pm(x)无关
e^x是根据λ取得，跟Pm(x)也无关。
所以 Pm(x) 只可能与 2e^x 的常数2有关。既然Pm(x)只与常数有关，
那就设Qm(x)为一个常数b0
所以 y*=x^k · Pm(x) · e^λx
最后设为 y*=b0 · x · e^x
2、对应题主的情况二，Qm(x)=b0x+b1
同理
原方程 y"-3y'+2y=x·e^2x
r1=1，r2=2
比较e^2x与e^λx，所以λ=2
λ=2=r2，所以λ为单特征根，所以k=1
此时原方程等号右端还有一个 x ，就是留下来对比Pm(x)的
所以 Qm(x) 设为 b0x+b1 形式
所以最后y*=x^k · Qm(x) · e^λx = x · (b0x+b1) · e^2x
即y*= x · (b0x+b1) · e^2x
3、对应题主的情况三，Qm(x)=b0x^2+b1x+b2
原方程 2y"+5y'=5x^2-2x-1
r1=0
r2=-5/2
对比λ=0=r1，所以k取1，
而Pm(x)要去对应5x^2-2x-1，所以Qm(x)设为b0x^2+b1x+b2
所以最后y*=x^k · Qm(x) · e^0 = x · (b0x^2+b1x+b2) = b0x^3+b1x^2+b2x
即y* = b0x^3+b1x^2+b2x
